Design of Wave Energy Extractor with a Linear Electric Generator Part II. Linear Generator

2.1 충격응답함수

시간영역해석법은 부유체의 천이운동이 중요하거나 비선형 하중 또는 계류력등을 고려하기 위한 경우 주로 사용된다. 선형발전기와 부이가 연성되어 있을 때 시간영역에서의 부이의 수직운동에 대한 천이운동방정식은 다음과 같은 적미분 방정식(Integro-differential Equation)으로 표현된다(Cummins[1962]). 해석모델은 반경 a, 흘수 d인 원통형 부이로 수심이 h인 수면 위에 떠 있다고 가정한다(Fig. 1 참조).

Fig. 1.

Definition sketch of a WEC in waves.

여기서 윗첨자 ·는 시간미분을 나타내며, a₃₃ (∞)는 ω→∞일 때의 부가질량이다. 점성감쇠계수는 b_vis=2ρgκS/ω_N로 정의되며, 여기서 S(=πa²)는 수선면적이다. 무차원화된 점성계수 κ(=0.053)는 자유감쇠실험을 통하여 실험적으로 구한다. ω_N는 부이의 수직운동 비감쇠 고유주파수(Undamped Natural Frequency)이다.

외력항 F(t)에는 선형파랑하중, 시간평균 표류력, 차진동수 표류력, 합진동수 파랑하중, 계류력, 비선형 감쇠력, 풍력, 조류력, 위치유지 장치에 의한 추진기력 등 모든 외력을 포함할 수 있다. 각 외력항은 외력의 특성에 따라 조화함수 중첩법이나 Voltera방정식에 근거한 콘볼루션(Convolution) 형태로 표시할 수 있다. K(τ)는 이전시간의 운동이 현재시간의 운동에 미치는 영향을 나타내는 시간기억함수(Time Memory Function)로 충격응답함수(Impulse Response Function) 또는 지연함수(Retardation Function)라고도 한다. 충격응답함수 K(τ)는 부가질량 및 방사감쇠계수의 Fourier역변환으로 구할 수 있으며 보통 방사감쇠계수를 역변환하여 구한다.

식 (3)에 주어진 수치적분을 효율적으로 수행하기 위하여 적분 구간 (0,∞)내의 주파수 ω를 일정한 간격 N_w개로 나누어 합하고 나머지 적분항을 포함시키면 충격응답함수는 아래와 같이 N_w+1개의 적분항들의 합으로 표현한다.

여기서

먼저 ΔK_n (τ)를 수치적분 하기 위하여 구간(ω_n, ω_n+1)내에서 방사감쇠계수를 선형함수로 근사 시킨다.

여기서 1차 함수의 계수는

이다. 방사감쇠계수 대신 구간(ω_n, ω_n+1)에서의 근사식인 선형함수를 대입하여 적분을 수행하면 ΔKn (τ)은 다음과 같다.

여기서

마지막 적분항인 구간(ω_Nw+1, ∞)에서의 적분항은 해석적인 방법을 사용하여 구한다. ω→∞일 때 b₃₃(ω)는 사라지므로 주파수영역(ω_Nw+1, ∞)에서의 방사감쇠계수의 근사식을 ω→∞일 때 지수함수적으로 사라지는 함수로 근사시킬 수 있다. 또한 ω→∞일 때, b33(ω)→0 이므로 γ는 0보다 커야 하며, ω=ω_Nw+1에서 방사감쇠계수와 그 미분값이 연속이라는 조건을 적용하면 α와 γ를 아래와 같이 구할 수 있다.

여기서

주파수영역(ω_Nw+1, ∞)에서 타당한 식 (8)에 주어진 방사감쇠계수의 근사식을 식 (5)에 대입하여 적분을 수행하면 다음과 같다.

식 (1)의 콘벌류션 적분(Convolution Integral)으로부터 얻어지는 메모리항은 앞에서 구한 충격응답함수를 가지고 사다리꼴 수치적분을 수행하면 아래와 같이 얻어진다.

식 (1)의 적미분방정식을 시간 적분하여 운동변위의 시계열은 구하는데 이 시계열을 Fourier해석하면 운동의 주파수 특성을 알 수 있다. 본 연구에서는 초기조건(부이의 위치와 속도)를 가지고 Newmark[1959]에 의해 제안된 Newmark’s β 방법을 사용하여 시간 적분하였다.

부이가 불규칙파중에 놓여 있을 때 선형파랑하중은 조화함수 중첩원리를 사용하여 파랑스펙트럼과 주파수영역에서 구한 파기진력으로부터 얻어진다(Cho and Kweon[2011]).

여기서 S_ζ(ω)는 파랑스펙트럼이며, χ_n는 범위 [0.2π] 내의 난수를 뜻한다. 본 연구에서는 유의파고 3 m, 피크 주기 6.67초의 JONSWAP 스펙트럼을 사용하였다. (|X_n/a_n|, φ_n)는 각각의 주파수에서 입사파의 진폭으로 나눈 부이에 작용하는 수직방향 파기진력의 절대값과 위상차를 나타내다. 식 (1)을 수치적으로 적분하여 ζ(t), w(t)(= (t)), a(t)(= (t))가 구해지면 시간영역에서의 파력은 P(t) cPTO 이다.

2.2 해석결과

Fig. 2는 반경이 2.0 m, 흘수가 5.0 m인 부이의 수직운동 충격응답함수를 시간에 따라 그렸다. 충격응답함수는 시간에 따라 급격히 줄어들어 5초를 지나 0에 수렴함을 보이고 있다. Fig. 3은 파고 3 m, 입사파의 주파수 ω가 고유주파수(ωN=1.26 rad/s)와 같은 공진조건일 때 수직운동변위와 속도 그리고 파워의 시계열을 그렸다. 초기의 과도기 상태를 지나 짧은 시간내에 정상상태에 도달하고 있으며 매우 안정된 수치해석 결과를 보여주고 있다. 부이의 운동진폭은 대략 2.2 m로 공진조건일 때 입사파의 진폭 1.5 m 보다 약 1.5배 증폭한 것을 알 수 있다. 선형발전기를 부이에 연결하면 부이와 함께 움직이는 영구자석의 운동방향과 반대방향으로 작용하는 PTO(Power Take-Off) 감쇠력(= c_PTO )이 작용하므로 공진주파수에서 선형발전기를 연결하지 않았을 때 보다 증폭비가 줄어들었다. 또한 운동변위와 속도사이에는 시간지연이 일어남을 알 수 있다. 선형발전기를 통하여 추출할 수 있는 Fig. 3b의 파력의 시계열로부터 추출 가능한 최대파력은 약 80 kW이다.

Fig. 2.

Impulse response function for the heaving buoy.

Fig. 3.

(a) Heave motion and velocity and (b) extracted power records in regular waves (H=3.0 m, T=6.0 sec).

Fig. 4와 Fig. 5는 부이가 유의파고 3 m, 피크 주기 6.67초인 불규칙파중에 놓여 있을 때 시간영역 해석법을 통하여 구한 파랑하중과 수직운동속도 그리고 추출 파워를 도시하였다. 이상의 시간영역 해석결과는 선형발전기 설계에 필요한 입력값으로, 3장에서 다룰 Halbach 배열 영구자석 가동자 및 철심형 슬롯리스(Slotless) 고정자를 갖는 동기 선형발전기를 설계하는데 활용된다.

Fig. 4.

Vertical wave load acting on a buoy in irregular seas (H1/3=3.0 m, Tp=6.67 sec).

Fig. 5.

(a) Heave velocity and (b) extracted power records in irregular seas (H1/3=3.0 m, Tp=6.67 sec).

3.1 발전기 구조 및 설계사양

Fig. 6은 부이와 선형발전기의 결합도를 보여주고 있는데, 선형발전기는 4개의 동일한 발전기가 한 세트로 구성되어 부이와 체결되는 구조로 구성되었다. Fig. 7은 부이와 결합되는 발전기 세트를 구성하는 4개의 발전기중 1개의 세부 구조를 보여주고 있다. 발전기 구조는 양측식 할박(Halbach) 배열 영구자석 가동자와 철심형 슬롯리스(slotless) 고정자로 구성되었음을 알 수 있다. 자화 패턴을 할박 배열로 구성할 경우 장점은 수직 배열 자화와 비교하여 부피당 출력 밀도가 높은 컴팩트한 구조를 가질 수 있으며, 영구자석의 back-iron의 두께를 감소시켜 발전기의 무게 및 비용 절감이 가능하다는 것이다(Atallah and Howe[1988]). 또한 고정자의 구조를 슬롯리스 코어드 타입으로 하여 발전기의 리플 성분 중 하나인 디텐트력(Detent Force)을 저감하였다. 고정자의 권선은 환상형(Ringwound) 타입으로 하여 끝부분에서의 구리 사용량을 줄여 분포권과 비교하여 낮은 저항이 되도록 설계하였다. Table 1은 파력에너지 변환용으로 요구되는 부이의 출력 및 속도, 발전기의 출력 및 효율 등의 설계요구조건 및 제약조건을 나타낸다. 여기서 PTO 감쇠계수와 부이의 운동속도로부터 발전기의 입력은 약 133 kW이나, 동일한 발전기 4개가 부이와 결합하므로, 발전기의 입력을 1개 기준으로 선정하였음을 알 수 있다. Table 2는 Table 1의 요구조건에 부합하도록 설계된 선형발전기의 설계 사양으로 Fig. 8에 표시된 기호의 수치로 설명하고 있다.

Fig. 6.

Assembled buoy-generator system: (a) structure of system and (b) detailed view of linear generator.

Fig. 7.

The schematic of a linear synchronous generator with a double-sided Halbach array mover and cored slotless stator: (a) 3D view and (b) 2D view.

Table 1.

Required and electrical parameters of linear generator

Table 2.

Specification of analytic model

Fig. 8.

2D Finite element analysis model: (a) Mesh plot and (b) magnetic flux line.

3.2 해석결과

Fig. 8는 Table 2에 제시된 치수를 갖는 양측식 선형 영구자석 발전기의 유한요소 해석모델이고, Fig. 9는 Fig. 8의 해석모델로부터 얻은 발전특성을 나타낸다. Fig. 9(a)의 규칙파 속도 입력 조건에서 Fig. 9(b)1의 3상 발전기전력, Fig. 9(c)의 3상 발전전압, Fig. 9(d)의 3상 발전전류 및 Fig. 9(e)의 입/출력전력 해석결과를 얻었다. 이 해석결과는 발전기 4개 중 1개의 해석결과이다. 따라서, 발전기 4개가 직렬로 연결된다면, 해석결과는 단순히 전압 성분에는 4배를 곱하여 주고, 전류는 변함이 없기 때문에, 전력 역시 4배를 곱하여 주면 된다. 한편, Fig. 9(e)에서 알 수 있듯이 최고속도가 발생하는 구간 즉, 1.5초에서 2초사이에 최대 출력이 나타남을 알 수 있으며, 그 값 역시, Table 1에 제시된 요구조건에 부합함을 알 수 있다.

Fig. 9.

Generating performance of the designed linear generator under sine wave speed conditions: (a) speed, (b) induced voltage, (c) output voltage, (d) phase current, (e) input and output power.

정현파 속도 입력조건에서의 발전특성해석 결과만으로도 발전기의 설계가 타당하게 이루어 졌음을 판단할 수 있다. 그러나, 실제 해상에서 부이의 운동은 불규칙적이므로, 이러한 불규칙한 조건하에서, 얼마의 출력이 얻어질 수 있는 가에 대한 검토는 반드시 필요하다. 그러나 서론에서도 명시하였듯이, 불규칙파 해석을 유한요소 해석법을 적용하여 수행하게 되면, 많은 해석시간과 해석해의미 수렴으로 인한 계산 오류 등으로 인해, 해석의 부담이 가중된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 본 논문에서는 Fig. 10의 선형발전기 등가회로를 이용하여 불규칙파 속도 조건에서의 발전특성 해석을 수행하였다.

Fig. 10.

Equivalent circuit of PMLSG.

Fig. 10으로부터 식 (12)~(16)의 발전특성 관계식을 얻을 수 있다(Cho[2007], Choi[2009]). 식 (12)는 발전기 한 상(One Phase)의 발전전압 관계식을 나타내며, 식 (12)~(16)는 각각 발전상전압, 발전상전류, 입력전력 및 출력전력에 대한 관계식을 나타낸다. 여기서 λ_f, V_s, V_t, I_ph, R_L, R_ph, f, L_s, P_i, P_o는 각각 영구자석에 의한 쇄교자속[V.m/s], 부이속도[m/s], 발전단자전압[V], 발전상전류[A], 부하저항[Ω], 발전기 권선 상 저항[Ω], 발전주파수[Hz], 권선 상 동기 인덕턴스[H], 입력전력[W] 및 출력전력[W]이다. 특히, 영구자석에 의한 쇄교자속, 권선 상 저항 및 상 인덕턴스는 해석의 정확도를 높이기 위해, 유한요소 해석법으로부터 얻어진 값을 사용하였다.

Fig. 11는 부이의 불규칙한 운동조건에서 Fig. 10으로부터 얻어진 Table 2의 제원을 갖는 선형발전기의 발전특성 해석결과를 나타낸다. 즉, Fig. 11(a)의 불규칙한 속도 입력조건에서 Fig. 11(b)의 한상 발전기전력, Fig. 11(c)의 한 상 발전전압, Fig. 11(d)의 한 상 발전전류 및 Fig. 11(e) 및 (f)의 입/출력전력 해석결과를 얻었다. 이 해석결과는 Fig. 9의 결과와 동일하게, 발전기 4개 중 1개의 해석결과이므로, 발전기 4개가 직렬로 연결된다면, 입출력 전력에 4배를 곱하여 주면 부이와 결합된 전체 발전기의 출력을 유추할 수 있다. 한편, Fig. 11(f)에서 알 수 있듯이, 최고속도가 발생하는 구간 즉, 약 300초 부근에서 최대 출력이 나옴을 알 수 있으며, 그 값 역시, Table 1에 제시된 요구조건에 부합하며, Fig. 11(e)의 입력전력 역시 Fig. 5(b)에 제시된 부이의 출력과 그 크기와 패턴이 동일하다고 판단되어지기 때문에, 등가회로를 이용한 해석법이 해석시간 및 정확성 측면에서 타당하다고 판단할 수 있다.

Fig. 11.

Generating performance of irregular speed: (a) speed, (b) induced voltage, (c) output voltage, (d) phase current, (e) input power, (f) output power.