The Effect of Sampling Rate on Statistical Properties of Extreme Wave

1. 서 론

파랑자료의 계측은 해양구조물과 설계의 중요한 자료로서, 많은 해역에서 관측이 되고 있다. 현재 해양에서 사용하는 파랑계측시스템은 계측된 파랑자료는 많은 경우가 1 Hz 근처의 높지 않은 sampling rate를 사용한 경우가 많다. Datawell사에서 제작한 전형적인 소형 파랑관측 부이에서는 1.28 Hz의 sampling rate가 사용되고 있다(Tucker[1991]). Yasuda and Mori[1997], Mori 등[2002]은 sampling rate는 1 Hz로 계측된 일본해에서 계측된 파랑자료를 이용해서 freak wave의 발생확률을 살펴보았다. Soares et al.[2004]는 1.28 Hz sampling rate로 계측된 Huriacane Camile의 파랑자료를 이용하여 극한파의 특성을 분석하였고, 우리나라 해역에서도 sampling rate가 1.28 Hz를 사용하여 계측한 자료가 다 수 있다. Shin 등[2007]은 freak wave특성 파악을 위하여 제주도 지역의 파랑관측 자료를 분석하였고 이 자료의 sampling rate도 1.28 Hz이다. 이와 같이 국내외적으로 많은 곳에서 파랑계측에 1 Hz 근처의 sampling rate를 사용하고 있는 것이 현실이다.

파랑자료를 취득할 때 계측기에서 사용된 sampling rate가 충분하지 않은 경우에는 계측된 파랑자료의 특성이 원형에서 벗어나게 된다. Sampling rate가 크면 오차가 줄어들겠지만 파랑자료의 저장용량 등의 문제 때문에 현실적으로는 충분히 큰 sampling rate를 사용하는 것이 용이하지 않다. 계측되는 파랑자료의 sampling rate가 1Hz 근처인 경우에는 파랑스펙트럼이 가지는 전체 에너지가 실제에 비해 줄어드는 경향을 보인다(Tucker[1991]). Stansell 등[2002]은 sampling rate가 낮으면 파고의 분포는 레일리분포에서 벗어나게 되며, 1 Hz 근처에서는 파고의 발생확률이 실제에 비해 과소평가하는 경향을 보인다는 것을 보여 주었다. 이 논문에서는 sampling rate가 일반적인 파랑의 통계특성뿐만 아니라 freak wave와 같이 극한파가 포함되어 있는 파랑자료의 측정에 미치는 영향을 살펴보고자 한다. Freak wave와 같은 극한파의 통계적 특성은 이상지수 AI(abnormality index)의 분포 특성과 연관이 있으며, 파형의 첨도(kurtosis)와 밀접한 관계가 있다는 것이 알려져 있다(Mori 등[2002], Mori[2004], Stansell[2004], Shin 등[2007], Kim[2010]).

이 논문에서는 Freak wave와 같이 극한파의 측정에 sampling rate가 미치는 영향을 살펴보고자 한다. 그러나 계측된 파고는 발생 빈도나 여러 가지 발생 환경 등을 고려할 때 sampling rate가 극한파의 특성에 미치는 효과를 체계적으로 해석하기가 쉽지 않다. 본 연구에서는 주어진 파랑스펙트럼에서 파형의 시계열(time series) 자료를 시뮬레이션하고, 파랑스펙트럼을 분석하여 파형의 분포의 특성, 파랑스텍트럼의 분포 특성, 파형의 kurtosis 분포, AI 지수, 최대파의 크기 등을 비교하여 sampling rate가 극한파의 통계적 특성에 미치는 영향을 살펴보고, 이를 바탕으로 sampling rate의 변화가 freak wave와 같은 극한파의 통계적 특성에 어떠한 영향을 주는지 살펴보고자 한다.

2. 파랑자료의 구성

먼저 본 논문에서는 주어진 파랑스펙트럼 S( f )에서 지속시간 T동안의 파형의 시계열 자료를 다음 식에 의해 계산을 하였다.

여기서 ε_i는 0에서 2π까지의 random phase를 나타낸다.

시계열자료의 시간간격을 Δt 라하면 N은 다음과 같이 주어진다.

본 논문에서는 Bretschneider spectrum을 사용하여 파랑자료를 시뮬레이션 하였다.

A와 B의 값은 스펙트럼법에서 정의된 유의파고 H_s와 영점상향주기 T_z를 이용하여 결정하였다.

스펙트럼법에 의한 유의파고 H_s와 T_z(zero up-crossing period)는 다음과 같이 정의한다.

파랑스펙트럼의 0차와 2차모멘트는 다음과 같이 주어진다.

H_s와 T_z가 주어지면 식 (6), (7)을 이용하여 파랑스펙트럼의 0차와 2차모멘트를 계산하고, 식 (8), (9)을 이용하여 상수 A, B를 결정할 수 있다.

파형 η의 모멘트는 파형의 확률분포 p를 이용하여 다음과 같이 정의 된다.

여기서 p는 파형의 확률분포, μ는 평균(mean), σ²는 분산(variance), γ는 비대칭도(skewness), κ는 첨도(kurtosis)이다.

파랑스펙트럼의 대역폭을 다음과 같이 정의한다 (Longett-Higgins[1980]).

Freak wave와 같은 극한파를 정의하는 이상지수 AI(abnormality index)는 아래 같이 정의 된다(Kalif 등[2009]).

여기서 H_max는 최대파의 파고, H_1/3은 개별파법에서 정의된 유의파고이다. 종종 AI의 정의에서 스펙트럼법에서 정의된 유의파고 H_s를 사용하기도 한다.

3. 파랑자료의 시계열 시뮬레이션

파랑자료의 비교 기분을 정하기 위해서 여러 가지 크기의 Δt에 대해서 시뮬레이션을 시행하였고 그 결과 Δt가 0.2 보다 작은 경우는 파랑자료의 각종 특성이 수렴하는 경향을 보여서, 본 논문에서는 Δt=0.2 s로 파형의 시뮬레이션을 수행하여 파형자료의 기본으로 사용하였다. 주어진 기본 파형에서 Δt=0.2~1.8 s 까지 0.2 간격으로 파랑자료를 이산화하여 각 자료의 통계적인 특성이 어떻게 변화하는 지 살펴보기로 한다. Table 1에 해당하는 주기와 주파수를 표시하였다. 파랑자료의 시뮬레이션에서는 H_s=2 m, T_z=4 s (H2T4)와 H_s=5 m, T_z=8 s (H5T8) 두 가지 경우를 사용하였고 freak wave가 발생한 파랑자료를 사용하였다.

Fig. 1에서 sampling rate가 각종 파고의 크기에 미치는 영향을 살펴보았다. 이 그림에서 Δt가 커지면 H₀(평균파고), H_1/3(유의파고),H_rms(rms 파고)가 점차적으로 줄어드는 것을 볼 수 있다. 그러나 H_max의 경우는 Δt=0.8까지는 값이 크게 변하지 않지만 그 이상의 값에서는 차이가 나는 것을 볼 수 있다. Fig. 2에서는 파랑스펙트럼에 관련된 파라미터를 표시하였다. 영점상향통과주기 T_z는 Δt가 0.8보다 커지면 급격히 증가하는 것을 볼 수 있다. 그러나 스펙트럼의 면적으로 정의된 유의파고 H_s는 거의 일정한 값을 가지는 것을 볼 수 있다. 그리고 대역폭 파라미터는 ν는 Δt의 크기에 따라 매우 민감하게 줄어드는 것을 볼 수 있다. 따라서 스텍트럼의 0차 모멘트는 상대적으로 Δt의 크기에 큰 영향을 받지 않지만, 스펙트럼의 2차 모멘트는 큰 영향을 받는 것을 알 수 있다.

Fig. 3은 각종 파형의 분포파라미터의 변화를 보여주고 있다. 이 그림에서 첨도는 Δt가 0.8이상에서 급격히 변하는 것을 볼 수 있다. 이에 비해 표준편차는 큰 변화를 보이지 않는다. 이것은 H_s의 값이 크게 변하지 않는 것과 연관이 있다. 그리고 비대칭(skewness)도는 Δt가 커짐에 따라 값이 음양의 값으로 변동하면서 다소 변동 폭이 커지는 것을 볼 수 있다.

Table 1.

Sampling period and rates

Fig. 1.

Various wave heights vs sampling rate (Hs=2 m and Tz=4 s).

Fig. 2.

Various parameters from wave spectrum vs. sampling rates.(Hs=2 m and Tz=4 s).

Fig. 3.

Various wave elevation distribution vs. sampling rates (Hs=2 m and Tz=4 s).

Fig. 4.

Various wave heights vs sampling rate (Hs=5 m and Tz=8 s).

Fig. 5.

Various parameters from wave spectrum vs. sampling rates. (Hs=5 m and Tz=8 s).

Fig. 6.

Various wave elevation distribution vs. sampling rates (Hs=5 m and Tz=8 s).

Fig. 4-5에서는 H_s=5 m, T_z=8 s인 경우를 보여주고 있다. Fig. 4에서 Δt가 커지면 H₀, H_1/3, H_rms 파고가 조금씩 줄어드는 것을 볼 수 있다. 이러한 경향은 앞의 H2T5의 경향과 일치를 한다. H_max의 경우는 Δt=0.8 이상에서는 값의 변화가 커지는 것을 볼 수 있다. Fig. 5에서는 파랑스펙트럼에 관련된 파라미터를 표시하였다. 영점 상향통과주기 T_z는 Δt가 커지면 급격히 증가하는 것을 볼 수 있고, H_s는 거의 일정한 값을 가지는 것을 볼 수 있다. 그리고 대역폭 파라미터는 ν는 Δt의 크기에 따라 매우 민감하게 줄어드는 것을 볼 수 있다. 이러한 경향도 앞의 H2T5의 경향과 일치를 한다.

Fig. 6은 Δt의 변화에 따른 파형분포 파라미터 분산(variance) σ², 비대칭도(skewness) γ, 첨도(kurtosis) κ를 보여주고 있다. 이 그림에서 첨도는 Δt가 0.8이상이되면 급격히 변하는 것을 볼 수 있다, 이에 반해 표준편차와 비대칭도는 크게 변하지 않는 것을 볼 수 있다. 이 결과도 Fig. 3의 결과와 정성적으로 일치를 한다.

Fig. 7에는 freak wave의 판정 기준이 되는 이상지수(AI)를 표시하였다. AI가 2 이상이면 freak wave가 발생한 경우이다. 이 그림에서도 Δt가 커지면서 AI의 변동폭이 커지는 것을 볼 수 있다. T_z가 큰 경우가 변동폭은 상대적으로 작은 것을 볼 수 있다. Fig. 8에서는 H_1/3/H_s의 비를 표시하였다. 이 비는 개별파법과 스펙트럼법에 의한 유의파고의 상대 크기의 비이다. 일반적으로 해양파에서는 0.9~1.0 사이의 값을 나타낸다. H5T8에서는 일상적인 범위에서의 값을 보여주고 있는데 반해서, H2T4에서는 Δt가 1보다 큰 경우에는 일반적인 해양파의 특성 범위에서 벗어나는 값을 보여주는 것을 볼 수 있다.

Table 2에 5 Hz의 값을 기준으로 해서 Δt의 변화에 따라 H_max값의 퍼센트 오차를 표시를 하였다. 두 가지 경우 모두 Δt=0.8s (1.25 Hz)까지는 오차가 매우 작은 것을 볼 수 있다. Δt=1.0 s (1Hz)까지는 오차가 5% 이하를 보이는 것을 볼 수 있다. Δt=0.6인 경우에 나타난 오차는 random simulation에서 발생한 오차에서 기인한 것으로 보인다. 일반적으로 해양에서 발생하는 극한파가 포함된 파랑자료의 영점상향 주기는 8초 이상이 되기 때문에 1 Hz 이상의 samping rate로 계측한 자료는 일부 통계 특성치는 원래 파랑의 특성치와 다소 차이가 나타날 수 있지만, 극한파의 발생확률과 크기에 5% 이하의 오차를 줄 것으로 예상된다.

Fig. 7.

AI index vs. Δt.

Fig. 8.

H1/3/Hs vs. Δt.

Table 2.

Percent error in Hmax prediction

4. 결 언

본 논문에서는 파형을 시뮬레이션하고 freak wave가 발생한 파랑자료를 사용하여 해양파 측정에 sampling rate가 미치는 영향을 살펴보았다. 파랑의 각종 통계적 특성이 sampling rate가 1.25 Hz이하인 경우에는 각종 파랑의 통계 특성이 원 값에 비해 달라지는 것을 볼 수 있었다. 최대파고의 변동 폭은 다른 통계 특성치에 비해 상대적으로 작은 변화를 보여주었으며, T_z는 과대평가되고 대역폭은 과소평가된다. Sampling rate에 의해서 발생한 오차의 크기는 파랑의 주기가 커지면 줄어드는 경향을 보인다. Sampling rate 변화에 의한 유의파고의 오차는 H_s가 H_1/3보다 작게 나타난다.

Sampling rate가 freak wave와 같은 극한파의 통계특성에 미치는 영향을 파악하기 위하여, 이상(AI)지수, 파형의 첨도(kurtosis) 그리고 최대파고 등의 변화를 살펴보았다. AI지수와 H_max값에 나타나는 오차는 Δt가 커질 수 록 커진다. Sampling rate가 1.25 Hz이상인 경우에 발생하는 오차는 매우 작게 나타난다. 일반적으로 freak wave와 같은 극한파가 포함된 파랑을 계측할 때, 1 Hz의 이상의 samping rate로 계측한 해양파의 자료를 사용한다면 sampling rate가 최대파고의 크기의 미치는 오차가 5% 이하가 될 것으로 예상된다.

Acknowledgments

본 연구는 2009년도 홍익대학교 학술진흥연구비에 의해 지원되어 수행되었음.

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